Contoh Soal Penerapan Sistem Persamaan Linear pada Penerapan Persimpangan Jalan

Di bagian kota yang ramai dari suatu kota tertentu, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti pada gambar dibawah ini. Rata-rata volume mobil per jam yang memasuki dan meninggalkan persimpangan diberikan pada gambar. Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan (x1, x2, x3, x4)






Jawaban:

Cara Manual:

Untuk menghitung nilai x pada persimpangan jalan, volume mobil per jam yang masuk ke suatu persimpangan sama dengan volume mobil per jam yang keluar dari suatu persimpangan tersebut. Maka setiap persimpangan memiliki perumusan sebagai berikut:

Volume Mobil per Jam yang Masuk = Volume Mobil per Jam yang Keluar

Persimpangan A:

x1 + 450 = 610 + x2
x1 – x2= 610 – 450
x1 – x2= 160

Persimpangan B:

x2 + 520 = 480 + x3
x2 – x3= 480 – 520
x2 – x3= -40
x3 – x2= 40

Persimpangan C:

x3 + 390 = 600 + x4
x3 – x4= 600 – 390
x3 – x4= 210

Persimpangan D:

x4 + 640 = 310 + x1
x4 – x1= 310 – 640
x4 – x1= -330
x1 – x4= 330

Dari persamaan pada setiap persimpangan tersebut dapat dibuat kedalam sistem persamaan linear.



Sistem persamaan linear tersebut dapat dibuat kedalam bentuk matriks.




1. Cara Invers Matriks

Cara menyelesaikan Matriks tersebut dengan Invers Matriks yang dilakukan pertama kali adalah memisahkan sistem persamaan linear tersebut antara variabel x1, x2, x3, dan x4 dengan hasil, kemudian dibuat matriks. Sementara itu, matriks variabel x1, x2, x3, dan  x4 diinverskan. Sehingga menjadi:




Kemudian kedua matriks tersebut dikalikan. Namun Matriks yang diinverskan tersebut tidak dapat dikalkulasikan karena Matriks yang diinverskan itu menghasilkan matriks singular. Sehingga memiliki nilai dan hasil penyelesaian yang tidak terdefinisi.

2. Cara Eliminasi Gauss-Jordan

Langkah-langkah menyelesaikan Matriks tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan.



Dari penyelesaian eliminasi Gauss Jordan didapat nilai x1, x2, x3, x4 adalah:

1x1 – 1x4 = 330
x1 = 330 + x4

1x2 – 1x4= 170
x2 = 170 + x4

1x3 – 1x4= 210
x3 = 210 + x4

0x4 = 0
0 = 0

Sistem persamaan linear tersebut dikatakan tak bebas linear (bergantung linear) karena dalam matriks dengan penyelesaian eliminasi Gauss-Jordan memiliki baris yang nol. Sehingga matriks tersebut memiliki 4 vektor dan merentang suatu ruang berdimensi 3.

Maka dari persimpangan tersebut pada jalan x4 dikatakan tidak bisa dilalui atau tidak ada volume kendaraan yang masuk pada jalan x4 itu karena memiliki nilai atau penyelesaian yang tidak terdefinisi.

Cara MATLAB:
Copy Paste Kode Program ini pada m-file MATLAB kemudian di-running-kan untuk melihat output hasil program ini.

Kode Program:

clc;clear;

disp('Persamaan pada setiap persimpangan')
A=[1 -1 0 0 160]
B=[0 -1 1 0 40]
C=[0 0 1 -1 210]
D=[1 0 0 -1 330]

disp('Penggabungan setiap persamaan menjadi sebuah matriks')
Matriks=[A; B; C; D]

disp('-----Cara 1-----')
disp('Penyelesaian dengan Gauss-Jordan')
rref(Matriks) %kolom terakhir merupakan solusi

disp('------Cara 2-----')
disp('Penyelesaian dengan Invers Matriks dan Backslash')

Matriks(:,5)=[]
Hasil=[160 40 210 330]'

disp('Invers Matriks')
Invers=inv(Matriks)*Hasil

disp('Backslash')
Backslash=Matriks\Hasil
 

Komentar

Postingan Populer